【重拾数学知识】向量、内积、余弦定理

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前言

在机器学习中，距离度量在CV 、NLP以及数据分析等领域都有众多的应用。最常见的距离度量有余弦距离。本篇文章内容，主要将余弦距离中涉及到的高中数学知识重新捡起来，以便加深理解。

向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。在数学中，向量可以用来表示空间中的点、力、速度等概念。

在数学和物理学中，"矢量"和"向量"这两个术语通常被用来表示相同的概念，即具有大小和方向的量。它们之间没有本质上的区别，可以互相替换使用。

在数学中，我们通常使用"向量"这个术语来表示这种量;
在物理学中，更常见的是使用"矢量"这个术语来描述这种性质。

向量的大小通常称为模长或长度，表示向量的大小或量级。在二维空间中，向量的大小可以通过勾股定理计算得出。

表示方法：一般是在向量表示符两侧增加竖线|A|

向量的方向是指向量所指的位置或指向。在二维空间中，方向通常用与 x 轴的夹角来表示。

两个向量常见的方向关系有：平行向量、垂直向量和其他。

向量加法是将两个向量相加的操作。对于二维向量

 $\vec{a} = \vec{AB}$

和

 $\vec{b} = \vec{BC}$

它们的和为：

 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

向量减法是将一个向量减去另一个向量的操作。对于二维向量

 $\vec{OA} = (a_1, a_2)$

和

 $\vec{OB} = (b_1, b_2)$

它们的差为：

 $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{OA} + (-\vec{OB}) = \vec{OA} + \vec{BO} = \vec{BO} + \vec{OA} = \vec{BA}$

数量乘法是将一个标量与一个向量相乘的操作。标量乘以向量时，会使向量的大小增大或缩小，但方向不变。例如，标量lambda 与二维向量

 $\vec{A} = (a_1, a_2)$

的乘积为：

 $\lambda\vec{A} = (\lambda a_1, \lambda a_2)$

点积是一种向量运算，也称为内积。对于二维向量

 $\vec{A} = (a_1, a_2)$

和

 $\vec{B} = (b_1, b_2)$

它们的点积为：

 $\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2$

向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以帮助我们理解向量之间的关系和计算向量之间的夹角。

定义：正弦定理描述了三角形中角度和边长之间的关系。对于三角形 ABC，其三个顶点分别为 A、B、C，对应的边长分别为 a、b、c，以及对应的角度为 A、B、C，则正弦定理可以表示为：
```
 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ 
```
应用：可用于计算三角形中缺失的边长或角度，特别适用于非直角三角形。