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首页 » 【重拾数学知识】向量、内积、余弦定理

前言

在机器学习中,距离度量在CV 、NLP以及数据分析等领域都有众多的应用。最常见的距离度量有余弦距离。本篇文章内容,主要将余弦距离中涉及到的高中数学知识重新捡起来,以便加深理解。

相关概念

余弦相似度

余弦相似度又称为余弦相似性,是通过计算两个向量夹角余弦值来评估他们的相似度。余弦相似度将向量根据坐标值,绘制到向量空间中,如最常见的二维空间。
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余弦相似度计算公式

余弦相似度=ABAB\text{余弦相似度} = \frac{A \cdot B}{\|A\| \cdot \|B\|}

其中,A · B 表示向量 A 和 B 的点积(内积),|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模长。

通过以上公式,可以看到其中涉及的数学知识有:

  • 向量
    • 向量的模长
    • 向量的基本计算
    • 向量的内积
    • 向量的投影
  • 余弦夹角
    • 余弦定理
      ……

为了系统掌握上述内容,我们对以上数学知识进行重新梳理。

向量

向量的定义

向量是具有大小和方向的量,通常用箭头表示。在数学中,向量可以用来表示空间中的点、力、速度等概念。
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在数学和物理学中,"矢量"和"向量"这两个术语通常被用来表示相同的概念,即具有大小和方向的量。它们之间没有本质上的区别,可以互相替换使用。

在数学中,我们通常使用"向量"这个术语来表示这种量;
在物理学中,更常见的是使用"矢量"这个术语来描述这种性质。

向量的大小

向量的大小通常称为模长或长度,表示向量的大小或量级。在二维空间中,向量的大小可以通过勾股定理计算得出。

表示方法:一般是在向量表示符两侧增加竖线|A|
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向量的方向

向量的方向是指向量所指的位置或指向。在二维空间中,方向通常用与 x 轴的夹角来表示。

两个向量常见的方向关系有:平行向量、垂直向量和其他。
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向量的计算

向量的加法

向量加法是将两个向量相加的操作。对于二维向量

a=AB\vec{a} = \vec{AB}

b=BC\vec{b} = \vec{BC}

它们的和为:

a+b=AB+BC=AC\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} =  \vec{AC}

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向量的减法

向量减法是将一个向量减去另一个向量的操作。对于二维向量

OA=(a1,a2)\vec{OA} = (a_1, a_2)

OB=(b1,b2)\vec{OB} = (b_1, b_2)

它们的差为:

OAOB=OA+(OB)=OA+BO=BO+OA=BA\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{OA} + (-\vec{OB}) =  \vec{OA} + \vec{BO} = \vec{BO} + \vec{OA} = \vec{BA}

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向量的数乘

数量乘法是将一个标量与一个向量相乘的操作。标量乘以向量时,会使向量的大小增大或缩小,但方向不变。例如,标量lambda 与二维向量

A=(a1,a2)\vec{A} = (a_1, a_2)

的乘积为:

λA=(λa1,λa2)\lambda\vec{A} = (\lambda a_1, \lambda a_2)

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向量的内积

点积是一种向量运算,也称为内积。对于二维向量

A=(a1,a2)\vec{A} = (a_1, a_2)

B=(b1,b2)\vec{B} = (b_1, b_2)

它们的点积为:

AB=a1b1+a2b2\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2

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向量的投影

向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影,可以帮助我们理解向量之间的关系和计算向量之间的夹角。
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正余弦定理

正弦定理

  • 定义:正弦定理描述了三角形中角度和边长之间的关系。对于三角形 ABC,其三个顶点分别为 A、B、C,对应的边长分别为 a、b、c,以及对应的角度为 A、B、C,则正弦定理可以表示为:
    asinA=bsinB=csinC\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
  • 应用:可用于计算三角形中缺失的边长或角度,特别适用于非直角三角形。

余弦定理

  • 定义:余弦定理描述了三角形中边长和角度之间的关系。对于三角形 ABC,其三个顶点分别为 A、B、C,对应的边长分别为 a、b、c,以及对应的角度为 A、B、C,则余弦定理可以表示为:
    a2=b2+c22bccosA- a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
    b2=a2+c22accosB- b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B
    c2=a2+b22abcosC- c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
  • 应用:可用于计算三角形中的边长或角度,特别适用于已知两边和夹角的情况。

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参考资料:

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